Question

【题目】如图，已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过F的两条动直线AB，CD与抛物线交出A、B、C、D四点，直线AB，CD的斜率存在且分别是k1（k1＞0），k2．

（Ⅰ）若直线BD过点（0，3），求直线AC与y轴的交点坐标

（Ⅱ）若k1﹣k2＝2，求四边形ACBD面积的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（0，）；（Ⅱ）32．

【解析】

（Ⅰ）抛物线方程为，设，，，，，直线代入抛物线方程，当时，得，，当时，得，进而可得值为，写出直线AC方程，令得，进而得出结论；

（Ⅱ）设，，，，，直线l的方程是，联立抛物线方程，由韦达定理可得，，再求出点C到AB的距离d1，点D到AB的距离d2，，化简得，设，求导，分析单调性，进而得出．

（Ⅰ）由题意可得抛物线方程为，

设直线代入抛物线方程得，

设，，，，，

当时，得，，

当时，，

所以，

直线AC方程是，

令得，

故直线AC与y轴交点坐标是；

（Ⅱ）设直线l的方程是，代入得，

设，，，，，

则，，

，

点C到AB的距离，

点D到AB的距离，

则

，

设，

则，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以在内最小值，

故当，时，．