Question

【题目】如图，三棱锥中，.

（1）求证：；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取AC的中点O，连结BO，DO，推导出AC⊥DO，AC⊥BO，从而AC⊥平面BOD，由此能证明BD⊥AC．

（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出直线BC与平面ABD所成角的正弦值．

证明：（1）取AC的中点O，连结BO，DO，

∵AB＝BC＝CD＝DA，∴△ABC，△ADC均为等腰三角形，

∴AC⊥DO，AC⊥BO，

∵DO∩BO＝O，∴AC⊥平面BOD，

∵BD平面BOD，∴BD⊥AC．

解：（2）∵CA＝AB，AB＝BC＝CD＝DA，

∴OD＝OB＝，

∴OD2+OB2＝＝BD2，∴，

∵∠DOB是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∴平面DAC⊥平面BAC，

如图，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，

建立空间直角坐标系O﹣xyz，

设A（0，﹣1，0），则C（0，1，0），B（，0，0），D（0，0，），

∴＝（﹣，1，0），＝ ，＝（0，1，），

设平面ABD的法向量＝（x，y，z），

则，取x＝1，得＝（1，﹣，1），

设直线BC与平面ABD所成角为θ．

则直线BC与平面ABD所成角的正弦值为：

sinθ＝.