题目内容
19．设函数f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+sinx}{{x}^{2}+1}$在区间[-2015，2015]上的最大值与最小值之和为2．分析 函数f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+sinx}{{x}^{2}+1}$=1+$\frac{2x}{{x}^{2}+1}+\frac{sinx}{{x}^{2}+1}$，令g（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}+\frac{sinx}{{x}^{2}+1}$，函数f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+sinx}{{x}^{2}+1}$在区间[-2015，2015]上的最大值为g（x）max+1，最小值为g（x）min+1，
函数f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+sinx}{{x}^{2}+1}$在区间[-2015，2015]上的最大值与最小值之和为g（x）max+1+g（x）min+1．
解答 解，设函数f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+sinx}{{x}^{2}+1}$=1+$\frac{2x}{{x}^{2}+1}+\frac{sinx}{{x}^{2}+1}$，
令g（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}+\frac{sinx}{{x}^{2}+1}$，g（x）是R上的奇函数，其图象关于原点对称，
g（x）max+g（x）min=0
函数f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+sinx}{{x}^{2}+1}$在区间[-2015，2015]上的最大值为g（x）max+1，最小值为g（x）min+1，
∴函数f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+sinx}{{x}^{2}+1}$在区间[-2015，2015]上的最大值与最小值之和为
g（x）max+1+g（x）min+1=2，
故答案为：2．
点评 本题考查了函数的奇偶性及最值，恰当运用奇函数的性质是关键，属于基础题．
练习册系列答案
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