Question

3．已知函数f（x）=|x+2|+|x-1|．
（1）解不等式f（x）≤4；
（2）若关于x的不等式f（x）＜|2a+1|的解集是空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）采用零点分段法解含绝对值的不等式；
（2）运用绝对值三角不等式求最值，再解不等式．

解答 解：（1）采用零点分段法求解，
①当x≥1时，x+2+x-1≤4，解得x∈[1，$\frac{3}{2}$]；
②当-2≤x＜1时，x+2-x+1≤4，解得x∈[-2，1）；
③当x＜-2时，-x-2-x+1≤4，解得x∈[-$\frac{5}{2}$，-2）；
综合以上讨论得，x∈[-$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$]；
（2）因为，不等式f（x）＜|2a+1|的解集是空集，
所以，f（x）_min≥|2a+1|，
根据绝对值三角不等式得，
|x+2|+|x-1|≥|（x+2）-（x-1）|=3，即f（x）_min=3，
所以，|2a+1|≤3，解得a∈[-2，1]，
即实数a的取值范围为[-2，1]．

点评 本题主要考查了绝对值不等式的解法，用到零点分段法，以及绝对值三角不等式的应用，属于中档题．