Question

已知椭圆（a＞b＞0）的上顶点坐标为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为椭圆上一点，A为椭圆左顶点，F为椭圆右焦点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据已知条件分别求出a，b，c的值，从而确定椭圆方程．
（II）根据题意，设P（x，y）根据椭圆的方程，易得A₁、F₂的坐标，将其代入中，可得关于x、y的关系式，结合双曲线的方程，可得=x²+x+1，由x的范围，可得答案．
解答：解：（1）设椭圆C的方程为，
由已知，
所以，
得椭圆的方程为．

（Ⅱ）设P（x，y），
又A（-2，0），F（1，0），则，
∴
=．
当x=0时，取得最小值0，当x=2时，取得最大值4，
∴
点评：本题考查椭圆方程的应用、平面向量数量积的运算等，涉及最值问题．最值问题解题的思路是先设出变量，表示出要求的表达式，结合圆锥曲线的方程，将其转化为只含一个变量的关系式，进而由不等式的性质或函数的最值进行计算．