Question

已知函数f（x）=（bx+c）lnx在x=

1

e

处取得极值，且在x=1处的切线的斜率为1．
（Ⅰ）求b，c的值及f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）设p＞0，q＞0，g（x）=f（x）+x²，求证：5g（

3p+2q

5

）≤3g（p）+2g（q）．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)=blnx+(bx+c)•

1

x

，（1分）
f′(

1

e

)=0，
∴bln

1

e

+(

b

e

+c)•e=0，
即-b+b+ec=0，
∴c=0，
∴f'（x）=blnx+b，
又f'（1）=1，
∴bln1+b=1，
∴b=1，
综上，b=1，c=0，（3分）
f（x）=xlnx，由定义域知x＞0，f'（x）=lnx+1，
∵f′(x)＜0∴0＜x＜

1

e

，
∴f（x）的单调减区间为(0，

1

e

)．（5分）
（Ⅱ）先证5f(

3p+2q

5

)≤3f(p)+2f(q)
即证5

3p+2q

5

•ln

3p+2q

5

≤3plnp+2qlnq
即证3pln

3p+2q

5p

≤2qln

5q

3p+2q

，（6分）
令t=

q

p

，∵p＞0，q＞0，∴t＞0，
即证ln

3+2t

5

≤

2t

3

•ln

5t

3+2t

令h(t)=ln

3+2t

5

-

2t

3

•ln

5t

3+2t

，
则h(t)=ln

3+2t

5

-

2

3

tln(5t)+

2t

3

ln(3+2t)，
∴h′(t)=

5

3+2t

•

2

5

-

2

3

ln(5t)-

2t

3

•

5

5t

+

2

3

ln(3+2t)+

2t

3

•

2

3+2t

=

2

3

ln

3+2t

5t

，（8分）
①当3+2t＞5t即0＜t＜1时，ln

3+2t

5t

＞0，即h'（t）＞0
h（t）在（0，1）上递增，∴h（t）＜h（1）=0，（9分）
②当3+2t＜5t，即t＞1时，ln

3+2t

5t

＜0，即h′（t）＜0，
h（t）在（1，+∞）上递减，
∴h（t）＜h（1）=0，（10分）
③当3+2t=5t，即t=1时，h（t）=h（1）=0，
综合①②③知h（t）≤0，
即ln

3+2t

5

≤

2t

3

•ln

5t

3+2t

，（11分）
即5f（

2p+3q

5

）≤3f（p）+2f（q），
∵5•（

3p+2q

5

）²-（3p²+2q²）=

-6(p-q)2

5

≤0，
∴5•（

3p+2q

5

）²≤3p²+2q²，
综上，得5g（

3p+2q

5

）≤3g（p）+2g（q）．（12分）