题目内容
设函数f（x）=x（x-a）2，（I）证明：a＜3是函数f（x）在区间（1，2）上递减的必要而不充分的条件；
（II）若x∈[0，|a|+1]时，f（x）＜2a2恒成立，且f（0）=0，求实数a的取值范围．
【答案】分析：（I）先求函数f（x）在区间（1，2）上递减的充要条件，
f（x）在区间（1，2）上递减?f'（x）=3x2-4ax+a2≤0在区间（1，2）上恒成立，处理二次不等式恒成立问题可用实根分布求解．
（II）x∈[0，|a|+1]时，f（x）＜2a2恒成立?f（x）max＜2a2，x∈[0，|a|+1]，问题转化为求函数的最值问题．
解答：解：（I）∵f（x）在区间（1，2）上递减，
∴其导函数f'（x）=3x2-4ax+a2≤0在区间（1，2）上恒成立．
∴
故a≤3是函数f（x）在区间（1，2）上递减的必要而不充分的条件
解法二：f'（x）=3x2-4ax+a2=（3x-a）（x-a）≤0在区间（1，2）上恒成立，
∴a只能大于0，∴
，∴
∴2≤a≤3⇒a≤3
故a≤3是函数f（x）在区间（1，2）上递减的必要而不充分的条件
（II）∵f（x）=x（x-a）2
当a＞0时，函数y=f（x）在（
）上递增，
在
上递减，在
上递增，
故有
当a＜0时，函数y=f（x）在
上递增，
∴只要f（1-a）＜2a2⇒4a3-6a2+5a-1＞0
令g（a）=4a3-6a2+5a-1，
则
所以g（a）在（-∞，0）上递增，
又g（0）=-1＜0∴f（1-a）＜2a2不能恒成立
故所求的a的取值范围为
点评：本题考查已知函数的单调区间求参数范围问题和不等式恒成立问题，体现分类讨论和化归思想．
f（x）在区间（1，2）上递减?f'（x）=3x2-4ax+a2≤0在区间（1，2）上恒成立，处理二次不等式恒成立问题可用实根分布求解．
（II）x∈[0，|a|+1]时，f（x）＜2a2恒成立?f（x）max＜2a2，x∈[0，|a|+1]，问题转化为求函数的最值问题．
解答：解：（I）∵f（x）在区间（1，2）上递减，
∴其导函数f'（x）=3x2-4ax+a2≤0在区间（1，2）上恒成立．
∴
故a≤3是函数f（x）在区间（1，2）上递减的必要而不充分的条件
解法二：f'（x）=3x2-4ax+a2=（3x-a）（x-a）≤0在区间（1，2）上恒成立，
∴a只能大于0，∴
，∴∴2≤a≤3⇒a≤3故a≤3是函数f（x）在区间（1，2）上递减的必要而不充分的条件
（II）∵f（x）=x（x-a）2
当a＞0时，函数y=f（x）在（
）上递增，在
上递减，在上递增，故有
当a＜0时，函数y=f（x）在
上递增，∴只要f（1-a）＜2a2⇒4a3-6a2+5a-1＞0
令g（a）=4a3-6a2+5a-1，
则
所以g（a）在（-∞，0）上递增，
又g（0）=-1＜0∴f（1-a）＜2a2不能恒成立
故所求的a的取值范围为
点评：本题考查已知函数的单调区间求参数范围问题和不等式恒成立问题，体现分类讨论和化归思想．
练习册系列答案
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| A、[-5，5] | ||||||||
B、[-
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C、[-
| ||||||||
D、[-
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