Question

如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，P、M、N分别为棱DD₁、AB、BC的中点．

(1)求二面角B₁MNB的正切值；

(2)求证：PB⊥平面MNB₁．

(3)画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：连结BD交MN于F，连结B1F． 　　∵平面DD1B1B⊥平面ABCD，交线为BD，AC⊥BD， 　　∴AC⊥平面DD1B1B．又∵AC//MN， 　　∴MN⊥平面DD1B1B． 　　∵B1F，BF平面DD1B1B， 　　∴B1F⊥MN，BF⊥MN． 　　∵B1F平面B1MN， 　　BF平面BMN，则∠B1FB为二面角B1－MN－B的平面角． 　　在Rt△B1FB中，设B1B＝1，则FB＝， 　　∴tan∠B1FB＝． 　　(2)证明：过点P作PE⊥AA1，则PE∥DA，连结BE． 　　又DA⊥平面ABB1A1，∴PE⊥平面ABB1A1，即PE⊥B1M． 　　又BE⊥B1M，∴B1M⊥平面PEB． 　　∴PB⊥MB1． 　　由(1)中MN⊥平面DD1B1B，得PB⊥MN，所以PB⊥平面MNB1． 　　(3)解：PB＝，符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一：