题目内容
已知向量
=（cosθ，sinθ），
=（2，-1）．
（1）若
⊥
，求
的值；
（2）若|
-
|=2，θ∈(0 ，
)，求sin(θ+
)的值．
| a |
| b |
（1）若
| a |
| b |
| sinθ-cosθ |
| sinθ+cosθ |
（2）若|
| a |
| b |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
分析：（1）由
⊥
，可得
•
=2cosθ-sinθ=0，求得tanθ=2，从而求得
=
的值．
（2）把已知等式平方求得
•
=1，即2cosθ-sinθ=1，平方可得4cos2θ-4sinθcosθ+sin2θ=1，求得 tanθ=
．再利用同角三角函数的基本关系求得cosθ 和sinθ 的值，从而求得 sin(θ+
)=
sinθ+
cosθ的值．
| a |
| b |
| a |
| b |
| sinθ-cosθ |
| sinθ+cosθ |
| tanθ-1 |
| tanθ+1 |
（2）把已知等式平方求得
| a |
| b |
| 3 |
| 4 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
解答：解：（1）若
⊥
，
则
•
=2cosθ-sinθ=0，tanθ=
=2，
∴
=
=
=
．
（2）∵|
|=1，|
|=
，
若|
-
|=2，θ∈(0 ，
)，
则有
2-2
•
+
2=4，即 1-2
•
+5=4，解得
•
=1，
即 2cosθ-sinθ=1，平方可得4cos2θ-4sinθcosθ+sin2θ=1，
化简可得 3cos2θ-4sinθcosθ=0，
即 tanθ=
．
再利用同角三角函数的基本关系sin2θ+cos2θ=1，
求得cosθ=
，sinθ=
，
∴sin(θ+
)=
sinθ+
cosθ=
．
| a |
| b |
则
| a |
| b |
| sinθ |
| cosθ |
∴
| sinθ-cosθ |
| sinθ+cosθ |
| tanθ-1 |
| tanθ+1 |
| 2-1 |
| 2+1 |
| 1 |
| 3 |
（2）∵|
| a |
| b |
| 5 |
若|
| a |
| b |
| π |
| 2 |
则有
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
即 2cosθ-sinθ=1，平方可得4cos2θ-4sinθcosθ+sin2θ=1，
化简可得 3cos2θ-4sinθcosθ=0，
即 tanθ=
| 3 |
| 4 |
再利用同角三角函数的基本关系sin2θ+cos2θ=1，
求得cosθ=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴sin(θ+
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
7
| ||
| 10 |
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，属于中档题．
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