题目内容

已知椭圆方程为，长轴两端点为A、B，短轴上端点为C．
（1）若椭圆焦点坐标为，点M在椭圆上运动，当△ABM的最大面积为3时，求其椭圆方程；
（2）对于（1）中的椭圆方程，作以C为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形CDE，设直线CE的斜率为k（k＜0），试求k满足的关系等式；
（3）过C任作垂直于，点P、Q在椭圆上，试问在y轴上是否存在一点T使得直线TP的斜率与TQ的斜率之积为定值，如果存在，找出点T的坐标和定值，如果不存在，说明理由．
【答案】分析：（1）由焦点坐标可求c，利用△ABM的最大面积为3，可得a，b的关系，再借助于几何量间的关系，可求椭圆方程；
（2）根据C是直角顶点，假设CE所在的直线方程与椭圆方程联立求得CE，CD的长，利用|CE|=|CD|，可求关系式；
（3）先假设T（0，-b），P（x1，y1），Q（x2，y2），利用垂直于，点P、Q在椭圆上，可表示出直线TP的斜率与TQ的斜率之积，从而得解．
解答：解：（1）由已知：，，联立方程组求得：a=3，b=1，所求方程为：（4分）
（2）依题意设CE所在的直线方程为y=kx+1（k＜0），代入椭圆方程并整理得：（1+9k2）x2+18kx=0，则，同理（8分）
由|CE|=|CD|得k3+9k2+9k+1=0，即（k+1）（k2+8k+1）=0（11分）
（3）由题意得：T（0，-b），又知，
设P（x1，y1），Q（x2，y2）x1x2=-（y1-b）（y2-b）（13分）
又由得，同理，
所以．
从而得所以（15分）
而（为定值）．对比上式可知：
选取T（0，-b），则得直线TP的斜率与TQ的斜率之积为（18分）
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，考查研究椭圆和解三角形问题的综合，考查是否存在性问题的探究．对学生对问题的综合分析的能力要求很高．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆方程为x2+2y2=1，则该椭圆的长轴长为
2
2
．
精英家教网如图所示：已知椭圆方程为
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)，A，B是椭圆与斜轴的两个交点，F是椭圆的焦点，且△ABF为直角三角形．
（1）求椭圆离心率；
（2）若椭圆的短轴长为2，过F的直线与椭圆相交的弦长为
3
2
2
，试求弦所在直线的方程．

（08年长郡中学二模理）（13分）  已知椭圆方程为，长轴两端点为，短轴上端点为．

（1）若椭圆焦点坐标为，点在椭圆上运动，当的最大面积为3时，求其椭圆方程；

（2）对于（1）中的椭圆方程，作以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形，设直线的斜率为，试求的值；

（3）过任作垂直于，点在椭圆上，试问在轴上是否存在点，使得直线的斜率与的斜率之积为定值，如果存在，找出一个点的坐标，如果不存在，说明理由．
已知椭圆方程为，长轴两端点为A、B，短轴上端点为C．
（1）若椭圆焦点坐标为，点M在椭圆上运动，当△ABM的最大面积为3时，求其椭圆方程；
（2）对于（1）中的椭圆方程，作以C为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形CDE，设直线CE的斜率为k（k＜0），试求k满足的关系等式；
（3）过C任作垂直于，点P、Q在椭圆上，试问在y轴上是否存在一点T使得直线TP的斜率与TQ的斜率之积为定值，如果存在，找出点T的坐标和定值，如果不存在，说明理由．

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