Question

已知椭圆方程为，长轴两端点为A、B，短轴上端点为C．
（1）若椭圆焦点坐标为，点M在椭圆上运动，当△ABM的最大面积为3时，求其椭圆方程；
（2）对于（1）中的椭圆方程，作以C为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形CDE，设直线CE的斜率为k（k＜0），试求k满足的关系等式；
（3）过C任作垂直于，点P、Q在椭圆上，试问在y轴上是否存在一点T使得直线TP的斜率与TQ的斜率之积为定值，如果存在，找出点T的坐标和定值，如果不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由已知：，，
联立方程组求得：a=3，b=1，
所求方程为：
（2）依题意设CE所在的直线方程为y=kx+1（k＜0），
代入椭圆方程并整理得：（1+9k²）x²+18kx=0，则，
同理
由|CE|=|CD|得k³+9k²+9k+1=0，即（k+1）（k²+8k+1）=0
（3）由题意得：T（0，﹣b），又知，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）

x₁x₂=﹣（y₁﹣b）（y₂﹣b）
又由得，
同理，
所以．
从而得
所以
而（为定值）．
对比上式可知：选取T（0，﹣b），则得直线TP的斜率与TQ的斜率之积为