题目内容
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
=
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若B为钝角，b=10，求a的取值范围．
| cosA-3cosC |
| cosB |
| 3c-a |
| b |
（Ⅰ）求
| sinC |
| sinA |
（Ⅱ）若B为钝角，b=10，求a的取值范围．
分析：（Ⅰ）直接利用正弦定理化简已知表达式，通过两角和的正弦函数与三角形的内角和，求出
的值；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）求出a与c的关系，利用B为钝角，b=10，推出关系求a的取值范围．
| sinC |
| sinA |
（Ⅱ）通过（Ⅰ）求出a与c的关系，利用B为钝角，b=10，推出关系求a的取值范围．
解答：（本小题满分14分）
解：（I）由正弦定理，设
=
=
=k，
则
=
=
，
所以
=
．…（4分）
即（cosA-3cosC）sinB=（3sinC-sinA）cosB，
化简可得sin（A+B）=3sin（B+C）．…（6分）
又A+B+C=π，
所以sinC=3sinA
因此
=3．…（8分）
（II）由
=3得c=3a．…（9分）
由题意
，…（12分）
∴
＜a＜
…（14分）
解：（I）由正弦定理，设
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
则
| 3c-a |
| b |
| 3ksinC-ksinA |
| ksinB |
| 3sinC-sinA |
| sinB |
所以
| cosA-3cosC |
| cosB |
| 3sinC-sinA |
| sinB |
即（cosA-3cosC）sinB=（3sinC-sinA）cosB，
化简可得sin（A+B）=3sin（B+C）．…（6分）
又A+B+C=π，
所以sinC=3sinA
因此
| sinC |
| sinA |
（II）由
| sinC |
| sinA |
由题意
|
∴
| 5 |
| 2 |
| 10 |
点评：本题考查正弦定理与两角和的正弦函数的应用，注意三角形的判断与应用，考查计算能力．
练习册系列答案
相关题目