Question

已知P是椭圆

x2

12

+

y2

4

=1上的动点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，则

PF1

•

PF2

的取值范围是

[-4，4]

．

Answer 1

分析：用坐标表示向量，求出数量积，根据椭圆的范围，即可确定

PF1

•

PF2

的取值范围．

解答：解：设P的坐标为（x，y），则
∵椭圆

x2

12

+

y2

4

=1，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，∴F₁（-2

2

，0），F₂（2

2

，0）
∴

PF1

•

PF2

=（-2

2

-x，-y）•（2

2

-x，-y）=x²-8+y²=x2-8+4-

1

3

x2=

2

3

x2-4
∵0≤x²≤12
∴-4≤

2

3

x2-4≤4
∴

PF1

•

PF2

的取值范围是[-4，4]
故答案为：[-4，4]

点评：本题考查向量的数量积，考查椭圆的标准方程，正确求出数量积是关键．