题目内容
如图，四边形ABCD中，AD=DC=3，BC=5，AB=8，∠DCB=120°，则四边形ABCD的面积为分析：连接BD，在三角形DCB中，由DC，BC以及cos∠DCB的值，利用余弦定理求出BD的长，在三角形ABD中，利用余弦定理表示出cosA，将三边长代入求出cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，四边形ABCD的面积由三角形BCD面积与三角形ABD面积之和求出即可．
解答：
解：连接BD，
在△BCD中，DC=3，BC=5，∠DCB=120°，
利用余弦定理得：BD2=DC2+BC2-2DC•BCcos∠DCB=9+25+15=49，
∴BD=7，
在△ABD中，AD=3，AB=8，BD=7，
由余弦定理得：cosA=
=
=
，
∴sinA=
=
，
则S四边形ABCD=S△BCD+S△ABD=
×3×5×
+
×3×8×
=
．
故答案为：
解：连接BD，在△BCD中，DC=3，BC=5，∠DCB=120°，
利用余弦定理得：BD2=DC2+BC2-2DC•BCcos∠DCB=9+25+15=49，
∴BD=7，
在△ABD中，AD=3，AB=8，BD=7，
由余弦定理得：cosA=
| AD2+AB2-BD2 |
| 2AD•AB |
| 9+64-49 |
| 2×3×8 |
| 1 |
| 2 |
∴sinA=
| 1-cos2A |
| ||
| 2 |
则S四边形ABCD=S△BCD+S△ABD=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
39
| ||
| 4 |
故答案为：
39
| ||
| 4 |
点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
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