Question

若圆C经过点A（-1，5），B（5，5，），C（6，-2）三点．
（1）求圆C的圆心和半径；
（2）求过点（0，6）且与圆C相切的直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用垂径定理得到弦AB与弦BC的垂直平分线的交点即为圆心C，|AC|即为圆的半径，求出即可；
（2）判断得出（0，6）在圆C上，设过此点圆的切线方程斜率为k，表示出切线方程，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离d=r，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出直线l方程．

解答：解：（1）∵圆C经过点A（-1，5），B（5，5），C（6，-2）三点，
∴弦AB所在直线斜率为0，中点坐标为（

-1+5

2

，

5+5

2

），即（2，5）；弦BC所在直线的斜率为

5+2

5-6

=-7，中点坐标为（

5+6

2

，

5-2

2

），即（5.5，1.5），
∴弦AB的垂直平分线为x=

-1+5

2

=2，弦BC的垂直平分线为y-1.5=

1

7

（x-5.5），即x-7y+5=0，
联立得：

x=2 x-7y+5=0

，
解得：

x=2 y=1

，即C（2，1），
∴|AC|=

(-1-2)2+(5-1)2

=5，即圆C半径为5；
（2）由（1）得到圆C方程为（x-2）²+（y-1）²=25，判断得到点（0，6）在圆C上，
设过（0，6）切线的斜率为k，即切线方程为y-6=kx，即kx-y+6=0，
∴圆心C到直线的距离d=

|2k-1+6|

k2+1

=5，
解得：k=0或k=

20

21

，
则直线l方程为y=6或20x-21y+126=0．

点评：此题考查了圆的标准方程，以及圆的切线方程，涉及的知识有：线段中点坐标公式，两直线的交点，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，熟练掌握公式是解本题的关键．