Question

若圆E经过点A（-1，5），B（5，5，），C（6，-2）三点．
（1）求圆E的圆心和半径；
（2）求圆E被直线l：x+y+1=0所截得的弦长．

Answer 1

分析：（1）设圆的方程是 x²+y²+Dx+Ey+F=0，将题中点的坐标代入得到关于D、E、F的方程组，解之得D、E、F的值，从而得到圆的方程，即可得到圆心坐标和半径r大小；
（2）利用点到直线的距离公式，算出圆心到直线l：x+y+1=0的距离，结合垂径定理加以计算可得该圆被直线l截得的弦长．

解答：解：（1）设圆的方程是 x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵经过三点A（-1，5），B（5，5），C（6，-2），
∴将这三个点的坐标代入，可得 

25+25+5D+5E+F=0 36+4+6D-2E+F=0 1+25-D+5E+F=0

，
解之得

D=-4 E=-2 F=-20

，可得所求圆的方程为 x²+y²-4x-2y-20=0，
化成标准方程：（x-2）²+（y-1）²=25，
∴圆心坐标为（2，1），半径r=5；
（2）由（1）得圆心（2，1）到直线x+y+1=0的距离为d，
则d=

|2+1+1|

2

=2

2

，
根据垂径定理，可得直线l被圆截得的弦长为：
l=2

r2-d2

=2

52-(2 2 )2

=2

17

．

点评：本题给出经过三点的圆，求圆的圆心和半径，并依此求直线被圆截得的弦长．着重考查了圆的标准方程与一般方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．