题目内容
【题目】设抛物线
的焦点为
，准线为
，
为过焦点且垂直于
轴的抛物线
的弦，已知以为直径的圆经过点
.
（1）求
的值及该圆的方程；
（2）设
为上任意一点，过点作的切线，切点为
，证明：
.
【答案】（1）
，圆的方程为：
.（2）答案见解析
【解析】
（1）根据题意，可知
点的坐标为
，即可求出
的值，即可求出该圆的方程；
（2）由题易知，直线
的斜率存在且不为0，设
的方程为
，与抛物线
联立方程组，根据
，求得
，化简解得
，进而求得
点的坐标为
，分别求出
，
，利用向量的数量积为0，即可证出
.
解：（1）易知点的坐标为，
所以
，解得.
又圆的圆心为
，
所以圆的方程为.
（2）证明易知，直线的斜率存在且不为0，
设的方程为，
代入的方程，得
.
令
，得，
所以
，解得.
将代入的方程，得
，即点的坐标为.
所以
，
，
.
故.
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