题目内容
在数列an中，已知a1=1，an=2an-1+n-2，n∈N*，n≥2．（1）求证：数列an+n是等比数列； （2） 求数列{
| an | 2n |
分析：（1）由题意数列an中，已知a1=1，an=2an-1+n-2，n∈N*，有递推关系构造新等比数列，利用等比数列的定义即可求数列an+n是等比数；
（2）有（1）知数列{
}的通项公式，根据通项公式的特点，利用错位相减法即可求其前n项和．
（2）有（1）知数列{
| an |
| 2n |
解答：解：（1）∵an=2an-1+n-2，
∴an+n=2（an-1+n-1）
∴数列{an+n}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列；
（2）有（1）知：an+n=2n即：an=2n-n，
∴
=1-
∴Sn=(1-
)+(1-
)+(1-
)+…+(1-
)=n-(
+
+
+…+
)
令Tn=
+
+
+…+
①
则
Tn=
+(
+
+…+
)-
②
①-②得：
Tn=
+(
+
+…+
)-
=
-
=1-
-
．
∴Tn=2-
-
，
∴Sn=n-2+
+
．
∴an+n=2（an-1+n-1）
∴数列{an+n}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列；
（2）有（1）知：an+n=2n即：an=2n-n，
∴
| an |
| 2n |
| n |
| 2n |
∴Sn=(1-
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 22 |
| 3 |
| 23 |
| n |
| 2n |
| 1 |
| 21 |
| 2 |
| 22 |
| 3 |
| 23 |
| n |
| 2n |
令Tn=
| 1 |
| 21 |
| 2 |
| 22 |
| 3 |
| 22 |
| n |
| 2n |
则
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 21 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 2n |
| n |
| 2n+1 |
①-②得：
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 21 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 2n |
| n |
| 2n+1 |
| ||||
1-
|
| n |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2n |
| n |
| 2n+1 |
∴Tn=2-
| 1 |
| 2n+1 |
| n |
| 2n |
∴Sn=n-2+
| 1 |
| 2n+1 |
| n |
| 2n |
点评：此题考查了构造新等比数列，还考查了利用错位相减法求数列的前n项的和．
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