Question

若函数f(x)=2x的反函数为f-1(x)，且f-1(a)+f-1(b)=4，则

1

a

+

1

b

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：本题考查反函数的概念、反函数的求法、指数式和对数式的互化、对数的运算、由基本不等式

a+b

2

≥

ab

求最值等相关知识．
根据y=2^x可得f^-1（x）的解析式，由此代入f^-1（a）+f^-1（b）=4可得a、b的关系式，根据基本不等式

a+b

2

≥

ab

即可得到

1

a

+

1

b

最小值．

解答：解：由y=2^x解得：x=log₂y
∴函数f（x）=2^x的反函数为f^-1（x）=log₂x，x＞0
由f^-1（a）+f^-1（b）=4得：log₂a+log₂b=4
即：log₂ab=4
∴ab=16
∴

1

a

+

1

b

≥2

1 ab

=2

1 16 =

1

2

即b

1

a

+

1

b

的最小值是

1

2

．
答案：

1

2

点评：本题小巧灵活，用到的知识比较丰富，具有综合性特点，涉及了反函数、指数式和对数式的互化、对数的运算、由基本不等式

a+b

2

≥

ab

求最值等多方面的知识，是这些内容的有机融合，思维密度较大；
解题中用注意对数的运算公式化简log₂a+log₂b=4得a、b的关系式．