Question

是否存在实数a，使得f(x)=ln(

x2+e

+x)-a为奇函数，同时使g(x)=x(

1

2x-1

+a)为偶函数？证明你的结论．

Answer 1

分析：若一个函数为奇函数，则满足f（x）+f（-x）=0，因此可以先假设存在满足条件的a，化简f（x）+f（-x）=0，利用对数的运算性质可得a=

1

2

，再将这个值代入到第二个函数，变形可得g（-x）=g（x）恒成立，从而得到函数g（x）是一个偶函数．因此得到存在符合题意的a值，使结论成立．

解答：解：假设存在实数a满足题设条件，则

f(x)+f(-x)=ln( x2+e +x)-a+ln( x2+e -x)-a

=ln[(

x2+e

+x)(

x2+e

-x)-2a=lne-2a=1-2a=0⇒a=

1

2

又当a=

1

2

时，g(x)=

x(2x+1)

2(2x-1)

，
g(-x)=

-x(2-x+1)

2(2x-1)

=-

x(1+2x)

2(1-2x)

=

x(2x+1)

2(2x-1)

=g(x)
∴g（x）为偶函数．
综上所述，存在a=

1

2

满足题设条件．

点评：本题考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．在解题的过程中运用了比较系数法，请同学们注意这一点．