Question

是否存在实数a，使得函数y=sin²x+acosx+

5

8

a-

3

2

在闭区间[0，

π

2

]上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：利用二倍角公式对函数解析式化简整理，进而利用x的范围确定cosx的范围，根据二次函数的性质对a的范围进行分类讨论，求得函数的最大值．

解答：解：y=1-cos²x+acosx+

5

8

a-

3

2

=-(cosx-

a

2

)2+

a2

4

+

5a

8

-

1

2

当0≤x≤

π

2

时，0≤cosx≤1，
若

a

2

＞1，即a＞2，则当cosx=1时
y_max=a+

5

8

a-

3

2

=1，
∴a=

20

13

＜2（舍去）
若0≤

a

2

≤1即0≤a≤2，则当cosx=

a

2

时，
y_max=

a2

4

+

5

8

a-

1

2

=1，
∴a=

3

2

或a=-4（舍去）．
若

a

2

＜0，即a＜0时，则当cosx=0时，
y_max=

5

8

a-

1

2

=1，
∴a=

12

5

＞0（舍去）．
综上所述，存在a=

3

2

符合题设．

点评：本题主要考查了三角函数的求最值．考查了学生分析推理的能力，基础知识的掌握程度．