Question

对正整数n≥2，记an=

n-1

i=1

n

n-i

•

1

2i-1

（1）求a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（2）求证：当n≥5时，有an≤

10

3

．

Answer 1

分析：（1）由于a_n=

n-1

i=1

n

n-i

•

1

2i-1

，将n=2，3，4，5代入计算即可求得a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（2）利用数学归纳法，①当n≤5时，由（1）的结论可判断所证关系式是否成立；②假设n=k时，结论成立，去推证n=k+1时，命题亦成立即可．

解答：解：（1）依题意，a₂=

2

2-1

•

1

21-1

=2
同理可得a₃=3，a₄=a₅=

10

3

，---------------------（4分）
（2）下面用数学归纳法证明：当n≥5时，有a_n≤

10

3

．
①当n≤5时，由（1）可得a_n≤

10

3

；
②假设n=k时，a_k≤

10

3

（k≥5），
则n=k+1时，a_k+1=

k+1

k

+

k+1

k-1

×

1

2

+

k+1

k-2

×

1

22

+…+

k+1

1

×

1

2k-1

---------（6分）
=

k+1

k

+

k+1

2k

（

k

k-1

+

k

k-2

×

1

2

+…+

k

1

×

1

2k-2

）
=

k+1

k

+

k+1

2k

a_k---------------------------------（8分）
≤

k+1

k

+

10

3

×

k+1

2k

=

k+1

k

×

8

3

≤

6

5

×

8

3

=

48 5

3

＜

10

3

．
所以当n=k+1时命题成立
综上，当n≥5时，有a_n≤

10

3

．----------------------------------------------（10分）

点评：本题考查数学归纳法，考查运算与等价转化思想、考查推理分析与论证的能力，属于难题．