题目内容

(2013•重庆)对正整数n,记In={1,2,3…,n},Pn={
m
k
|m∈In,k∈In}.
(1)求集合P7中元素的个数;
(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方,则称A为“稀疏集”.求n的最大值,使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并.
分析:(1)对于集合P7 ,有n=7.当k=4时,根据Pn中有3个数与In={1,2,3…,n}中的数重复,由此求得集合P7中元素的个数.
(2)先用反证法证明证当n≥15时,Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集,再证P14满足要求,从而求得n的最大值.
解答:解:(1)对于集合P7 ,有n=7.当k=4时,Pn={
m
k
|m∈In,k∈In}中有3个数(1,2,3)与
In={1,2,3…,n}中的数重复,由此求得
集合P7中元素的个数为 7×7-3=46.
(2)先证当n≥15时,Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集.否则,设A和B为两个不相交的稀疏集,使A∪B=Pn?In
不妨设1∈A,则由于1+3=22,∴3∉A,即3∈B.同理可得,6∈A,10∈B.又推出15∈A,但1+15=42
这与A为稀疏集相矛盾.
再证P14满足要求.当k=1时,P14={
m
k
|m∈I14,k∈I14}=I14,可以分成2个稀疏集的并集.
事实上,只要取A1={1,2,4,6,9,11,13},B1={3,5,7,8,10,12,14},则A1和B1都是稀疏集,且A1∪B1=I14
当k=4时,集合{
m
k
|m∈I14}中,除整数外,剩下的数组成集合{
1
2
3
2
5
2
,…,
13
2
},可以分为下列3个稀疏集的并:
A2={
1
2
5
2
9
2
11
2
},B2={
3
2
7
2
13
2
}.
当k=9时,集合{
m
k
|m∈I14}中,除整数外,剩下的数组成集合{
1
3
2
3
4
3
5
3
,…,
13
3
14
3
},
可以分为下列3个稀疏集的并:
A3={
1
3
4
3
5
3
10
3
13
3
},B3={
2
3
7
3
8
3
11
3
14
3
}.
最后,集合C═{
m
k
|m∈I14,k∈I14,且k≠1,4,9 }中的数的分母都是无理数,
它与Pn中的任何其他数之和都不是整数,
因此,令A=A1∪A2∪A3∪C,B=B1∪B2∪B3,则A和B是不相交的稀疏集,且A∪B=P14
综上可得,n的最大值为14.
点评:本题主要考查新定义,集合间的包含关系,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
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