题目内容
（2009•宝山区一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，3an+1+4Sn=3（n为正整数）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记S=a1+a2+…+an+…，若对任意正整数n，kS＜Sn恒成立，求k的取值范围？
（3）已知集合A={x|x2+a≤（a+1）x，a＞0}，若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为Tn，问是否存在实数a使得对于任意的n∈N*，均有Tn∈A．若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记S=a1+a2+…+an+…，若对任意正整数n，kS＜Sn恒成立，求k的取值范围？
（3）已知集合A={x|x2+a≤（a+1）x，a＞0}，若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为Tn，问是否存在实数a使得对于任意的n∈N*，均有Tn∈A．若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
分析：（1）3an+1+4sn=3，3an+4sn-1=3，两式相减，得3an+1-3an+4（Sn-Sn-1）=0，由此能求出数列{an}是等比数列，即可求出数列{an}的通项公式．
（2）将k进行分离，然后讨论n的奇偶，根据数列的单调性可求函数的最值，由此能求出k的最大值．
（3）讨论a与1的大小，求出集合A，当a≥1时，T2=a+a2，T2∈A，可求出a，当0＜a＜1时求出Tn的范围，对任意的n∈N*，要使Tn∈A，建立关于a的不等关系，解之即可．
（2）将k进行分离，然后讨论n的奇偶，根据数列的单调性可求函数的最值，由此能求出k的最大值．
（3）讨论a与1的大小，求出集合A，当a≥1时，T2=a+a2，T2∈A，可求出a，当0＜a＜1时求出Tn的范围，对任意的n∈N*，要使Tn∈A，建立关于a的不等关系，解之即可．
解答：解：（1）由题意知，当n≥2时，
两式相减变形得：
=-
(n≥2)
又n=1时，a2=-
，于是
=-
…（1分）
故 {an}是以a1=1为首项，公比q=-
的等比数列∴an=
，(n∈N*)…（4分）
（2）由S=
=
得 k＜
Sn=1-
=f（n）…（5分）
当n是偶数时，f（n）是n的增函数，于是f(n)min=f(2)=
，故k＜
…（7分）
当n是奇数时，f（n）是n的减函数，因为
f(n)=1，故k≤1．…（9分）
综上所述，k的取值范围是(-∞，
)…（10分）
（3）①当a≥1时，A={x|1≤x≤a}，T2=a+a2，若T2∈A，则1≤a+a2≤a．得
此不等式组的解集为空集．
即当a≥1时，不存在满足条件的实数a．…（13分）
②当0＜a＜1时，A={x|a≤x≤1}．
而Tn=a+a2+…+an=
(1-an)是关于n的增函数．
且
Tn=
，故Tn∈[a，
)．…（15分）
因此对任意的n∈N*，要使Tn∈A，只需
解得0＜a≤
．…（18分）
|
| an+1 |
| an |
| 1 |
| 3 |
又n=1时，a2=-
| 1 |
| 3 |
| a2 |
| a1 |
| 1 |
| 3 |
故 {an}是以a1=1为首项，公比q=-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| (-3)n-1 |
（2）由S=
| 1 | ||
1+
|
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| (-3)n |
当n是偶数时，f（n）是n的增函数，于是f(n)min=f(2)=
| 8 |
| 9 |
| 8 |
| 9 |
当n是奇数时，f（n）是n的减函数，因为
| lim |
| n→∞ |
综上所述，k的取值范围是(-∞，
| 8 |
| 9 |
（3）①当a≥1时，A={x|1≤x≤a}，T2=a+a2，若T2∈A，则1≤a+a2≤a．得
|
此不等式组的解集为空集．
即当a≥1时，不存在满足条件的实数a．…（13分）
②当0＜a＜1时，A={x|a≤x≤1}．
而Tn=a+a2+…+an=
| a |
| 1-a |
且
| lim |
| n→∞ |
| a |
| 1-a |
| a |
| 1-a |
因此对任意的n∈N*，要使Tn∈A，只需
|
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查数列的递推式和数列性质的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式和数列的综合应用，属于中档题．
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