Question

（2012•深圳一模）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R，（其中A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

），其部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知横坐标分别为-1、1、5的三点M、N、P都在函数f（x）的图象上，求sin∠MNP的值．

Answer 1

分析：（1）根据图象，可得函数的最小正周期T=8，结合周期公式得ω=

π

4

．再根据f（1）=1是函数的最大值，列式可解出φ的值，得到函数f（x）的解析式；
（2）由（1）的解析式，得出M、N、P三点的坐标，结合两点的距离公式得到MN、PN、PM的长，用余弦定理算出cos∠MNP的值，最后用同角三角函数平方关系，可得sin∠MNP的值．

解答：解：（1）由图可知，最小正周期T=（3-1）×4=8，所以ω=

2π

T

=

π

4

．
又∵当x=1时，f（x）有最大值为1，
∴f（1）=sin（

π

4

+φ）=1，得

π

4

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z
∵-

π

2

＜φ＜

π

2

，∴取k=0，得φ=

π

4

．
所以函数的解析式为f（x）=sin（

π

4

x+

π

4

）．
（2）∵f（-1）=0，f（1）=1且f（5）=sin（

π

4

×5+

π

4

）=-1．
∴三点坐标分别为M（-1，0），N（1，1），P（5，-1），
由两点的距离公式，得|MN|=

5

，|PN|=2

5

，|MP|=

37

，
∴根据余弦定理，得cos∠MNP=

5+20-37

2• 5 •2 5

=-

3

5

．
∵∠MNP∈（0，π）
∴sin∠MNP是正数，得sin∠MNP=

1-cos2∠MNP

=

4

5

．

点评：本题给出函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要我们确定确定其解析式，并求一个角的正弦．着重考查了三角函数的图象与性质、余弦定理和同角三角函数的基本关系等知识，属于中档题．