Question

如图，给出定点A（a，0）（a＞0）和直线l：x=－1.B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.

注：文科题设还有条件a≠1

Answer 1

答案：
解析：

解：解法一：依题意，记B（－1，b）（b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=－bx.设点C（x，y），则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等.根据点到直线的距离公式得 |y|=① 依题设，点C在直线AB上，故有：y=－（x－a） 由x－a≠0，得b=－    ② 将②式代入①式得：y2［1+］=［y－］2. 整理得：y2［（1－a）x2－2ax+（1+a）y2］=0 若y≠0，则（1－a）x2－2ax+（1+a）y2=0（0＜x＜a）； 若y=0，则b=0，∠AOB=π，点C的坐标为（0，0）.满足上式. 综上得点C的轨迹方程为：（1－a）x2－2ax+（1+a）y2=0（0≤x＜a）. ∵ a≠1， ∴（0≤r＜a ③ 由此知，当0＜a＜1时，方程③表示椭圆弧段； 当a＞1时，方程③表示双曲线一支的弧段. 解法二：如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足 （Ⅰ）当|BD|≠0时，设点C（x，y）， 则0＜x＜a，y≠0. 由CE∥BD，得 |BD|=（1+a） ∵∠COA=∠COB=∠COD－∠BOD=π－∠COA－∠BOD ∴2∠COA=π－∠BOD ∵tan（2∠COA）=， tan（π－∠BOD）=－tanBOD， tanCOA=， tanBOD=（1+a） ∴（1+a） 整理得：（1－a）x2－2ax+（1+a）y2=0（0＜x＜a） （Ⅱ）当|BD|=0时，∠BOA=π，则点C的坐标为（0，0），满足上式 综合（Ⅰ）（Ⅱ），得点C的轨迹方程为 （1－a）x2－2ax+（1+a）y2=0（0≤x＜a）. 以下同解法一.