Question

如图，A，B是椭圆的左右顶点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，若椭圆C的离心率为，且右准线l的方程为x=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交直线MB于点Q，试证明：直线PQ与x轴的交点R为定点，并求出R点的坐标．

Answer 1

（1）解：由题意：，解得．∴椭圆C的方程为． …（6分）
（2）证明：由（1）知，A（-2，0），B（2，0），
设M（x₀，y₀），R（t，0），则直线AM的方程为，
令x=4，得，即点P的坐标为，…（9分）
由题意，MQ⊥PQ，∴k_MQ•k_PQ=-1，∴，即，…（12分）
又，∴，∴，∴．
∴直线PQ与x轴的交点R为定点． …（16分）
分析：（1）由椭圆C的离心率为，且右准线l的方程为x=4，联立方程组成方程组，即可求得椭圆C的方程；
（2）设直线AM的方程，可得点P的坐标，根据MQ⊥PQ，可得k_MQ•k_PQ=-1，利用M再椭圆上，即可得直线PQ与x轴的交点R为定点．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．