Question

在四棱锥P―ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD = 90°， AD∥BC，AB = BC = a ，AD = 2a , PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角。

（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；

（2）在（1）的条件下，求异面直线AE与CD所成的角余弦值；

（3）求平面PAB与平面PCD所成的二面角的正切值。

Answer 1

解法一：（1）∵∠BAD = 90°，∴BA⊥AD

∵PA⊥底面ABCD，      ∴BA⊥PA

又∵PA∩AD = A         ∴BA⊥平面PAD

∵PD平面PAD       ∴PD⊥BA 。

又∵PD⊥AE ，且BA∩AE = A

∴PD⊥平面BAE        ∴PD⊥BE ，即BE⊥PD

（2）过点E作EM∥CD交PC于M，连结AM。则AE与ME所成角即为AE与CD所成角。

∵PA⊥底面ABCD，且PD与底面ABCD成30°角

∴∠PDA = 30°

∴在Rt△PAD中，∠PAD = 90°∠PDA = 30°， AD = a

∴PA =, PD =

∴AE =      

∴ME =

连结AC

∵在△ACD中AD = 2a ，AC = ， CD =，

∴AD² = AC² + CD²

∴∠ACD = 90°，      ∴CD⊥AC ，∴ME⊥AC ，

又∵PA⊥底面ABCD，  ∴PA⊥CD ，∴ME⊥PA

∴ME⊥平面PAC 。  ∵MA平面PAC

∵ME⊥AM        ∴在Rt△PME中，cos∠MEA =

∴异面直线AE与CD所成角的余弦值为

（3）延长AB与DC相交于G点，连PG，则面PAB与面PCD的交线为PG， 易知CB

⊥平面PAB，过B作BF⊥PG于F点，连CF，则CF⊥PG，

∴∠CFB为二面角C―PG―A的平面角，

=

∵CB∥AD，

∴GB=AB = a , ∠PDA = 30°,PA = ，AG = 2a

∴∠PGA = 30°

∴BF =GB =

∴平面PAB与平面PCD所成的二面角的正切值为2

解法二：（1）如图建立空间直角标系，   

    

则A ( 0, 0 ,0 ) , B ( a , 0 , 0 ) , E ( 0 , a , ) ,

C ( a , a , 0 ), D ( 0 , 2a , 0 ) , P ( 0 , 0 , )

∴，

∴? = ( a)×0 +a ?2a +? = 0

∴BE⊥PD

（2）由（1）知，=， = ( a , a , 0 )

设与所成角为

则cos=

∴异面直线AE与CD所成角的余弦值为

（3）易知，CD⊥AB， CB⊥PA，

则CB⊥平面PAB。∴是平面PAB的法向量

∴= ( 0 , a , 0 )

又设平面PCD的一个法向量为m = ( x , y , z )

则m⊥PC , m⊥CD .而= ( a , a , ) , ( a , a , 0 )

∴由m?= 0 , m?= 0

得 ∴

令y = 1 ∴m = ( 1 , 1 , )

设向量与m所成角为，

则cos=

∴tan= 2

∴平面PAB与平面PCD所成二面角的正切值为2