Question

已知函数f(x)＝lnx＋(a∈R)．

(Ⅰ)当a＝时，如果函数g(x)＝f(x)－k仅有一个零点，求实数k的取值范围；

(Ⅱ)当a＝2时，试比较f(x)与1的大小；

(Ⅲ)求证：ln(n＋1)＞＋＋＋…＋(n∈N^*)．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(Ⅰ)当时，，定义域是， 　　， 　　令，得或　　2分 　　当或时，，当时，， 　　∴函数、上单调递增，在上单调递减　　4分 　　的极大值是，极小值是． 　　当时，；当时，， 　　当仅有一个零点时，的取值范围是或　　5分 　　(Ⅱ)当时，，定义域为． 　　令， 　　， 　　在上是增函数　　7分 　　①当时，，即； 　　②当时，，即； 　　③当时，，即　　9分 　　(Ⅲ)(法一)根据(2)的结论，当时，，即． 　　令，则有， 　　　　12分 　　， 　　　　14分 　　(法二)当时，． 　　，，即时命题成立　　10分 　　设当时，命题成立，即． 　　时，． 　　根据(Ⅱ)的结论，当时，， 　　即． 　　令，则有， 　　则有， 　　即时命题也成立　　13分 　　因此，由数学归纳法可知不等式成立　　14分