Question

（本题满分12分）已知双曲线及点，是否存在过点的直线，使直线被双曲线截得的弦恰好被点平分？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

不存在．

【解析】

试题分析：存在性问题常先假设存在，如果最终无解或矛盾，则假设不成立，得出结论．一般地，解决弦长问题的常用方法是把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|＝|x1－x2|．与中点有关的问题常用“点差法”来解．本题涉及到中点故用点差法，但要注意点差法求解时要带回验证．

试题解析：假设符合题意的直线存在． 1分

设直线l与双曲线的两个交点分别为．

∴ 5分

∵为的中点，

∴ 7分

∴． 8分

∴直线的方程为 10分

由过p与双曲线有两个焦点时 即 11分

∴不存在符合题意的直线． 12分

考点：双曲线、直线的位置关系的综合应用．