Question

【题目】正方形的棱长为1,点分别是棱的中点.

（Ⅰ）求二面角的余弦值;

（Ⅱ）以为底面作正三棱柱,若此三棱柱另一底面三个顶点也都在该正方体的表面上,求这个正三棱柱的高.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）以为原点,以的方向分别为轴, 轴的正方向,建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量和平面的法向量，从而可求出二面角的余弦值；（Ⅱ）连接,分别取他们中点记为,分别连接，根据三角形中位线的性质，可推出且，进而推出为三棱柱的高，结合正方形的棱长为1，即可求值.

试题解析：（Ⅰ）以为原点,以的方向分别为轴, 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则点, , , .

∴,.

设平面的法向量为.

∴即，解得.

平面的法向量为

∴.

由图可知,二面角为钝角,故余弦值为.

（Ⅱ）连接,分别取他们中点记为,分别连接

是的中位线,

且, 且.

且.

同理可证且, 且,此时即为三棱柱高

.