Question

设数列的前项和为 已知
（I）设，证明数列是等比数列；     
（II）求数列的通项公式.

Answer 1

（I）见解析；（II） 。

此题主要考查了等比数列的性质及其前n项和，运用了错位相减法求数列{an}的前n项和，这个方法是高考中常用的方法，同学们要熟练掌握它
（Ⅰ）由题意只要证明bnbn-1
为一常数即可，已知S_n+1=4a_n+1，推出b₁的值，然后继续递推相减，得a_n+1-2an=2（a_n-2a_n-1），从而求出bn与bn-1的关系；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）{bn}是等比数列，可得bn}的通项公式，从而证得数列{a_n 2n }是首项为1 2 ，公差为1 2 的等差数列，最后利用错位相减法，求出数列{an}的通项公式
解：（I）由及，有
 
由，．．．① 　则当时，有．．．．．②
②－①得
又，
是首项，公比为２的等比数列．
（II）由（I）可得，
数列是首项为，公差为的等差数列．
，