Question

如图一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在t=

1

27

分钟时的瞬时变化率（　　）（注：π≈3.1）

• A、27分米/分钟
• B、9分米/分钟
• C、81分米/分钟
• D、9

  9

  分米/分钟

Answer 1

分析：圆锥的轴截面是个等边三角形，设经过t分钟的水面高度为h，求出水面的半径，用t和h表示经过t分钟圆锥形容器内水的体积，解出 h，并求出它的导数，t=

1

27

 时的导数值，就是注入水的高度在t=

1

27

分钟时的瞬时变化率．

解答：解：由题意知，圆锥的轴截面是个等边三角形，经过t分钟的水面高度为h，
则水面的半径是

3

3

h，t分钟时，圆锥形容器内水的体积为 9.3t=

1

3

π•(

3 h

3

)2•h，
∴h³=

9×9.3t

π

=27t，
∴h=3 t

1

3

，
∴h′=t

-2

3

，t=

1

27

 时，
h′=(

1

27

)

-2

3

=3²=9，
故选 B．

点评：本题考查圆锥的体积公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，函数在某点的导数，就是函数在该点的变化率．