Question

已知（x₀，y₀）是直线x+y=2k-1与圆x²+y²=k²+2k-3的交点，则x₀y₀的取值范围为[

11-6 2

4

，

11+6 2

4

]．

Answer 1

分析：先根据直线与圆相交，圆心到直线的距离小于等于半径，以及圆半径为正数，求出k的范围，再根据（x₀，y₀）是直线x+y=2k-1与圆x²+y²=k²+2k-3的交点，满足直线与圆方程，代入直线与圆方程，化简，求出用k表示的x₀y₀的式子，根据k的范围求x₀y₀的取值范围．

解答：解：∵直线x+y=2k-1与圆x²+y²=k²+2k-3
∴圆心（0.0）到直线的距离d=

|1-2k|

2

≤

k2+2k-3

解得

4- 2

2

≤k≤

4+ 2

2

又∵圆x²+y²=k²+2k-3，∴k²+2k-3＞0
解得，k＜-3，或k＞1
∴k的取值范围为

4- 2

2

≤k≤

4+ 2

2

∵（x₀，y₀）是直线x+y=2k-1与圆x²+y²=k²+2k-3的交点，
∴x₀+y₀=2k-1，①x₀²+y₀²=k²+2k-3②
①²-②，得，2x₀y₀=3k²-6k+4
当

4- 2

2

≤k≤

4+ 2

2

时，2x₀y₀=3k²-6k+4是k的增函数
∴当k=

4- 2

2

，x₀y₀有最小值为

11-6 2

4

当k=

4+ 2

2

，x₀y₀有最大值为

11+6 2

4

∴x₀y₀的取值范围为[

11-6 2

4

，

11+6 2

4

]
故答案为：[

11-6 2

4

，

11+6 2

4

]

点评：本题主要考察了直线与圆相交位置关系的判断，做题时考虑要全面，不要丢情况．