题目内容

椭圆G：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点F1（-c，0），F2（c，0），M是椭圆上一点．
（1）若M的坐标为（2，0），椭圆的离心率e=
3
2
，求a，b的值；
（2）若
F1M
•
F2M
=0．
①求椭圆的离心率e的取值范围；
②当椭圆的离心率e取最小值时，点N（0，3）椭圆上的点的最远距离为5
2
，求此时椭圆G的方程．
（1）由椭圆G：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）及椭圆上的一点M的坐标为（2，0）
可知a=2，
又
c
a
=
3
2
，∴c=
3
，b=1，∴椭圆的方程为 
x2
4
+y2=1．
（2）①设M（x0，y0），
∴
x02
a2
+
y02
b2
=1
∵
F1M
•
F2M
=0，
∴（x0+c，y0）•（x0-c，y0）=0，
x20
=a2(2-
a2
c2
)，
∵0≤x0≤a2
∴0≤a2(2-
a2
c2
)≤a2，解得  e2≥
1
2
．
∴e∈[
2
2
，1)
②当e=
2
2
时，设椭圆G的方程为
x2
2b2
+
y2
b2
=1
设H（x，y）为椭圆上一点，则|HN|2；；=x2+（y-3）2；；=-（y+3）2+2b2+18，（-b≤y≤b），
若0＜b＜3，|HN|2的最大值b2+6b+9=50得   b=-3±5
2
 （舍去），
若b≥3，|HN|2的最大值2b2+18=50得b2=16，∴所求的椭圆的方程为   
x2
32
+
y2
16
=1．
练习册系列答案
相关题目
（2011•顺义区一模）已知椭圆G：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=
1
2
x+m与椭圆G交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T，当m变化时，求△TAB面积的最大值．
（2013•海淀区一模）已知圆M：（x-
2
）2+y2=
7
3
，若椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右顶点为圆M的圆心，离心率为
2
2
．
（I）求椭圆C的方程；
（II）已知直线l：y=kx，若直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点（其中点G在线段AB上），且|AG|=|BH|，求k的值．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
1
2
，P1为椭圆上一点，满足
F1F2
•
P1F2
=0，
P1F1
•
P1F2
=
9
4
，斜率为k的直线l 过左焦点F1且与椭圆的两个交点为P、Q，与y轴交点为G，点Q分有向线段
GF1
所成的比为λ．
（I） 求椭圆C的方程；
（II） 设线段PQ中点R在左准线上的射影为H，当1≤λ≤2时，求|RH|的取值范围．
精英家教网如图，已知F（c，0）是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点；⊙F：（x-c）2+y2=a2与x轴交于D，E两点，其中E是椭圆C的左焦点．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设⊙F与y轴的正半轴的交点为B，点A是点D关于y轴的对称点，试判断直线AB与⊙F的位置关系；
（3）设直线BF与⊙F交于另一点G，若△BGD的面积为4
3
，求椭圆C的标准方程．
已知椭圆G：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=
1
2
x+m与椭圆G交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T，当m变化时，求△TAB面积的最大值．

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