Question

给出下列五个命题：
①函数f(x)=

x+2

x+1

的图象的对称中心是点（1，1）；②函数y=sinx在第一象限内是增函数；③已知a，b，m均是负数，且a＞b，则

a+m

b+m

＞

a

b

；④若直线l∥平面α，直线l⊥直线m，直线m?平面β，则β⊥α；⑤当椭圆的离心率e越接近于0时，这个椭圆的形状就越接近于圆．其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

分析：①将函数分离常数，利用图象变换可得其对称中心；②举反例即可否定此选项，例如举

π

3

，

13π

6

都是第一象限角；③利用作差比较法证明其正确；④在正方体中寻找反例即可否定此结论；⑤由椭圆离心率的定义e=

c

a

，推导出当椭圆的离心率e越接近于0时，椭圆长轴2a就越接近于短轴2b，椭圆的形状就越接近于圆

解答：解：∵f(x)=

x+2

x+1

=

1

x+1

+1，∴图象为y=

1

x

图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，∴对称中心是（-1，1）
∴①错误

π

3

，

13π

6

都是第一象限角，且

π

3

＜

13π

6

，但sin

π

3

＞sin

13π

6

，∴不能说函数y=sinx在第一象限内是增函数．
∴②错误
∵

a+m

b+m

-

a

b

=

ab+bm-ab-am

b(b+m)

=

m(b-a)

b(b+m)

，∵，b，m均是负数，且a＞b，∴

a+m

b+m

-

a

b

＞0∴

a+m

b+m

＞

a

b

∴③正确
例如在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC∥平面A₁C₁，AC⊥BD，BD⊆平面BDC₁，但平面A₁C₁与平面BDC₁并不垂直
∴④错误
e²=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

，当e越接近于0时，

b2

a2

就越接近1，a就越接近b，椭圆的形状就越接近于圆，
∴⑤正确
故答案为③⑤

点评：本题通过多选的形式，考查了三角函数，图象变换，不等式证明，空间线面关系，椭圆等基础知识，属于基础题