题目内容
已知向量
=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量
=（
，-1）
（1）当
∥
，求θ．
（2）当
⊥
时，求θ．
（3）求|2
-
|的最大和最小值．
| a |
| b |
| 3 |
（1）当
| a |
| b |
（2）当
| a |
| b |
（3）求|2
| a |
| b |
分析：（1）由
∥
得，cosθ×（-1）-
sinθ=0，可求tanθ，结合角的范围可求；
（2）由
⊥
得，
•
=0，即
cosθ-sinθ=0，可求tanθ，结合角的范围可求；
（3）表示出|2
-
|，利用三角恒等变换可进行化简，由角的范围及正弦性质可求；
| a |
| b |
| 3 |
（2）由
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
（3）表示出|2
| a |
| b |
解答：解：（1）由
∥
得，cosθ×（-1）-
sinθ=0，则tanθ=-
，
又θ∈[0，π]，所以θ=
；
（2）由
⊥
得，
•
=0，即
cosθ-sinθ=0，所以tanθ=
，
又θ∈[0，π]，所以θ=
；
（3）2
-
=（2cosθ-
，2sinθ+1），
则|2
-
|=
=
=
，
由θ∈[0，π]，得θ-
∈[-
，
]，
所以sin（θ-
）∈[-
，1]，所以8+8sin（θ-
）∈[8-4
，16]，
|2
-
|∈[
-
，4]，
故|2
-
|的最大值为4，最小值为
-
．
| a |
| b |
| 3 |
| ||
| 3 |
又θ∈[0，π]，所以θ=
| 5π |
| 6 |
（2）由
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| 3 |
又θ∈[0，π]，所以θ=
| π |
| 3 |
（3）2
| a |
| b |
| 3 |
则|2
| a |
| b |
(2cosθ-
|
8-4
|
8+8sin(θ-
|
由θ∈[0，π]，得θ-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
所以sin（θ-
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3 |
|2
| a |
| b |
| 6 |
| 2 |
故|2
| a |
| b |
| 6 |
| 2 |
点评：本题考查平面向量共线的条件、垂直的条件及数量积运算，考查三角函数的运算等知识，知识点较多，需要全面掌握有关知识．
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