Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N₊）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用数列的前n项和与通项a_n之间的关系，求出该数列的通项公式是解决本题的关键；注意分类讨论思想的运用；
（Ⅱ）利用第一问中所求的公式表示出数列{b_n}的通项公式，根据数列的通项公式选择合适的方法----裂项法求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由已知得（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1（n≥2，n∈N₊）
即a_n+1-a_n=1（n≥2，n∈N₊），
又a₂-a₁=1，
∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，公差为1的等差数列，
∴a_n=n+1．
（Ⅱ）∵bn=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

-

1

n+2

=

n

2n+4

．

点评：本题考查数列的前n项和与通项a_n之间的关系，考查等差数列的判定，考查学生分类讨论思想．运用数列的通项公式选取合适的求和方法求出数列{b_n}的前n项和，体现了化归思想．