Question

已知函数f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）
①求函数f（x）的定义域；
②判断函数f（x）的奇偶性并证明你的结论．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知，2^x-1≠0，得x≠0，从而求出函数的定义域；
（2）判断f（-x）和f（x）的关系，又由（1），f（x）的定义域关于原点对称，从而得到函数的奇偶性．

解答： 解：（1）由已知，2^x-1≠0，得x≠0，
∴函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}；
（2）函数f(x)=x(

1

2x-1

+

1

2

)是偶函数，
∵f（-x）=-x(

2x

1-2x

+

1

2

)
=x（

1

2x-1

+

1

2

），
∴f（-x）=f（x），
又由（1），f（x）的定义域关于原点对称，
∴函数f(x)=x(

1

2x-1

+

1

2

)是偶函数．

点评：本题考查了函数的奇偶性，利用奇偶性的定义判断即可，本题是一道基础题．