Question

函数f（x）=

2x2-8ax+3(x＜1) logax(x≥1)

满足对任意x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，则a的取值范围（　　）

• A、（0，

  1

  2

  ]
• B、[

  1

  2

  ，1）
• C、[

  1

  2

  ，

  5

  8

  ]
• D、[

  5

  8

  ，1）

Answer 1

分析：由题意判断出函数f（x）是R上的减函数，结合分段函数的解析式，每一段应是减函数，且分界点处左段的函数值不小于右段的函数值，列出不等关系，求解即可．

解答：解：∵对任意x₁≠x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立，
∴x₁-x₂与f（x₁）-f（x₂）异号，
根据函数单调性的定义，知f（x）在R上是减函数，
∵函数f（x）=

2x2-8ax+3    (x＜1) logax            (x≥1)

，
∴

2a≥1 0＜a＜1 2-8a+3≥0

，
解得

1

2

≤a≤

5

8

，
∴a的取值范围是[

1

2

，

5

8

]．
故选：C．

点评：本题考查了分段函数单调性的判断与证明，对于分段函数，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行解答，是易错题．