题目内容

已知函数f（x）=x2-2alnx（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）若f（x）在定义域上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若a＞0，求函数f（x）在区间（0，2]上的最小值．
分析：（1）利用函数单调，其导函数大于等于0或小于等于0恒成立；二次不等式恒成立，即a≤0，又a≠0，从而得出实数a的取值范围．
（2）先求出导函数f'（x），然后讨论a研究函数在（0，2]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．
解答：解：（1）f′（x）=2x-2×
a
x
=
2(x2-a)
x
，
若函数f（x）是定义域（0，+∞）上的单调函数，
则只能f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即x2-a≥0在（0，+∞）上恒成立恒成立，
即只要a≤0，又a≠0，
实数a的取值范围（-∞，0）．
（2）当a＞0时，f′（x）=
2(x2-a)
x
=
2(x+
a
)(x-
a
)
x
，
函数f（x）在区间（0，
a
）上为减函数，在区间（
a
，+∞）上为增函数．
（i）当
a
＜2时，即0＜a＜4时，函数在（0，
a
）上递减，[
a
，2]上递增，
所以当x=
a
时f（x）有最小值，并且最小值为a-alna；
（ii）当
a
≥2即a≥4时，函数在（0，2]上递减，
所以当x=2时f（x）有最小值，并且最小值为4-2aln2．
综上，当0＜a＜4时，f（x）在区间（0，2]上的最小值为a-alna；
当a≥4时，f（x）在区间（0，2]上的最小值为4-2aln2．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网