Question

下列关于星星的图案构成一个数列{an}，an(n∈N*)对应图中星星的个数
（1）写出a₅，a₆的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）求出数列{

1

an

}的前n项和S_n；
（3）若bn=

2n2-9n-11

2n

，对于（2）中的S_n，有c_n=S_n•b_n，求数列{|c_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由图中所给的星星个数：1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n；得出数列第n项，即通项公式．
（2）由an=

n(n+1)

2

，知

1

an

=2（

1

n

-

1

n+1

），利用裂项求和法能求出{

1

an

}的前n项和S_n．
（3）由bn=

2n2-9n-11

2n

，Sn=

2n

n+1

，知c_n=S_n•b_n=

2n

n+1

×

2n2-9n-11

2n

=2n-11，由此能求出数列{|c_n|}的前n项和．

解答：解：（1）从图中可观察星星的构成规律，
n=1时，有1个；
n=2时，有1+2=3个；
n=3时，有1+2+3=6个；
n=4时，有1+2+3+4=10个；
∴a₅=1+2+3+4+5=15，
a₆=1+2+3+4+5+6=21．
a_n=1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

．
（2）∵an=

n(n+1)

2

，
∴

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴{

1

an

}的前n项和S_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

．
（3）∵bn=

2n2-9n-11

2n

，Sn=

2n

n+1

，
∴c_n=S_n•b_n=

2n

n+1

×

2n2-9n-11

2n

=2n-11，
∴数列{|c_n|}的前n项和：
T_n=|2-11|+|4-11|+|6-11|+|8-11|+|10-11|+|12-11|+|14-11|+…+|2n-11|
=9+7+5+3+1+1+3+…+（2n-11）
=-a₁-a₂-a₃-a₄-a₅+a₆+a₇+…+a_n
=

-Sn，0＜n≤5 Sn-2S5，n≥6

=

-[-9n+ n(n-1) 2 ×2]，0＜n≤5 -9n+ n(n-1) 2 d+50，n≥6

=

10n-n2，0＜n≤5 n2-10n+50，n≥6

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意观察法、裂项求和法、分类讨论法的灵活运用．