题目内容

函数f（x）=2+logax（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-3=0上，其中mn＞0，则
1
m
+
1
2n
的最小值为
 
．
分析：利用f（1）=2+loga1=2，可得函数f（x）=2+logax（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，2），
由于点A在直线mx+ny-3=0上，可得m+2n=3．再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．
解答：解：∵f（1）=2+loga1=2，∴函数f（x）=2+logax（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，2），
∵点A在直线mx+ny-3=0上，∴m+2n=3．
∵mn＞0，∴m，n＞0．
∴
1
m
+
1
2n
=
1
3
(m+2n)(
1
m
+
1
2n
)=
1
3
(2+
2n
m
+
m
2n
)≥
1
3
(2+2
2n
m
•
m
2n
)=
4
3
，当且仅当m=2n=
3
2
时取等号．
∴
1
m
+
1
2n
的最小值是：
4
3
．
故答案为：
4
3
．
点评：本题考查了对数函数的性质、“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数．现给出下列命题：
①函数f（x）=2-x为R上的1高调函数；
②函数f（x）=sin2x不是R上的π高调函数；
③如果定义域为[-1，+∞）的函数f（x）=x2为[-1，+∞）上m高调函数，那么实数m 的取值范围是[2，+∞）；
④函数f（x）=lg（|x-2|+1）为[1，+∞）上的2高调函数．
其中真命题为
③④
③④
（填序号）．
（2013•泸州一模）定义在R上的奇函数f（x）满足f（1-x）=f（x）且x∈[0，l]时，f（x）=
2x4x+1
．
（Ⅰ）求函数f（x）在[-l，l]上的解析式；
（II）当λ为何值时，关于x的方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解？
给出以下三个命题，其中所有正确命题的序号为
①②
①②
．
①设
a
，
b
均为单位向量，若|
a
+
b
|＞1，则θ∈[0，
2π
3
)
②函数f （x）=xsinx+l，当x1，x2∈[-
π
2
，
π
2
]，且|x1|＞|x2|时，有f（x1）＞f（x2），
③已知函数f （x）=|x2-2|，若f （a）=f （b），且0＜a＜b，则动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值为1．
定义在R上的奇函数f（x）满足f（1-x）=f（x）且x∈[0，l]时，f（x）=．
（Ⅰ）求函数f（x）在[-l，l]上的解析式；
（II）当λ为何值时，关于x的方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解？
定义在R上的奇函数f（x）满足f（1-x）=f（x）且x∈[0，l]时，f（x）=．
（Ⅰ）求函数f（x）在[-l，l]上的解析式；
（II）当λ为何值时，关于x的方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解？

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