Question

已知矩阵．
（1）求M的特征值和特征向量；
（2）若向量，求M³α．

Answer 1

【答案】分析：（1）由矩阵M的特征多项式为，能求出矩阵M的特征值和对应的特征向量．
（2）由，得到M²==，=，从而能求出M³α．
解答：解：（1）∵矩阵M的特征多项式为
，
∴λ²-2λ-8=0，
解得矩阵M的特征值为：λ=-2，或λ=4．
当λ=-2时，对应的特征向量应满足
，
∴，
解得x₁=-2x₂，
∴对应的特征向量可取为．
当λ=-4时，对应的特征向量应满足
，
∴，
解得5x₁=2x₂，
∴对应的特征向量可取为．
（2）∵．
∴M²==，
∴=，
∴M³α==．
点评：本题考查特征向量和特征值的求法和矩阵的乘法运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．