Question

执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为a₁，a₂，…，a_n，n∈N*，n≤2011．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）

（1）若输入，写出输出结果；
（2）若输入λ=2，令，证明b_n是等差数列，并写出数列a_n的通项公式；
（3）若输入，令，T=c₁+2c₂+3c₃+…+2011c₂₀₁₁．求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据程序框图循环结构图直接可以判断当λ=时的输出结果，（2）结合题干条件求证b_n+1-b_n是一个常数，即可求出数列a_n的通项公式，（3）首先证明c_n是等比数列，然后根据等比数列求和公式求出T_n，最后进行大小比较．
解答：解：（1）输出结果为0，，．（4分）
（注：写对第一个数给（1分），写对二个数得（2分）．）
（2）当λ=2时，===-1（常数），
n∈N*，n≤2010．
所以，b_n是首项b₁=-1，公差d=-1的等差数列．（6分）
故b_n=-n，，数列a_n的通项公式为，n∈N*，n≤2011．（9分）
（3）当时，，，（11分）
∴c_n是以为首项，为公比的等比数列．T_n=c₁+2c₂+3c₃++n•c_n=
两式作差得
即∴（13分）
当n=2011时，（14分）
点评：本题主要考查程序框图和数列求和的知识点，解答本题的关键是看懂程序框图的运算程序，熟练掌握等差和等比数列的性质，本题把程序框图和数列的知识点结合在一起进行考查，也是一道不错的习题．