Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA₁=2，∠ACB=60°，E、F分别是A₁C₁、BC的中点， (1)证明：平面AEB⊥平面BB₁C₁C；
(2)证明：C₁F∥平面ABE；
(3)设P是BE的中点，求三棱锥P-B₁C₁F的体积。

Answer 1

(1)证明：在△ABC中，∵AC=2BC=4，∠ACB=60°， ∴，∴， ∴AB⊥BC，由已知AB⊥BB1， ∴AB⊥面BB1C1C， 又∵AB面ABE， ∴面ABE⊥面BB1C1C． (2)证明：取AC的中点M，连接C1M，FM， 在△ABC中，易得FM∥AB， ∴直线FM∥面ABE， 在矩形ACC1A1中，E、M都是中点， ∴C1M∥AE， ∴直线C1M∥面ABE， 又∵C1M∩FM =M， ∴面ABE∥面FMC1， 故C1F∥面AEB。 (3)解：连接EM、BM，取BM的中点O，连接PO，则PO∥BB1， ∴点P到面BB1C1C的距离等于点O到平面BB1C1C的距离， 过O作OH∥AB交BC于H，则OH⊥面BB1C1C， 在等边△BCM中，连接OC，可知CO⊥BM， ∴BO=1，在Rt△BOC中，可得， ∴。