Question

10．如图，在△ABC中，∠ACB=120°，D、E为边AB的两个三等分点，$\overrightarrow{CA}$=3$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{CB}$=2$\overrightarrow b$，|$\vec a$|=|$\vec b$|=1，试用$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$表示$\overrightarrow{CD}$、$\overrightarrow{CE}$，并求|$\overrightarrow{CD}$|．

Answer 1

分析 利用D、E为边AB的两个三等分点$\overrightarrow{CA}$=3$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{CB}$=2$\overrightarrow b$，|$\vec a$|=|$\vec b$|=1，根据向量的线性运算，即可得到结论．

解答 解：$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow a+\frac{1}{3}（2\overrightarrow b-3\overrightarrow a）=2\overrightarrow a+\frac{2}{3}\overrightarrow b$，
$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow a+\frac{2}{3}（2\overrightarrow b-3\overrightarrow a）=\overrightarrow a+\frac{4}{3}\overrightarrow b$，
$|\overrightarrow{CD}{|^2}={（2\overrightarrow a+\frac{2}{3}\overrightarrow b）^2}$=$4|\vec a{|^2}+\frac{8}{3}\vec a•\vec b+\frac{4}{9}|\vec b{|^2}$=$4+\frac{8}{3}cos120°+\frac{4}{9}$=$\frac{28}{9}$，
∴|CD|=$\frac{{2\sqrt{7}}}{3}$．

点评 本题考查向量的线性运算，考查学生的计算能力，属于基础题