Question

函数f（x）=ax，x∈[0，π]，且f（x）≤1+sinx，则a的取值范围是

（-∞，

1

π

]

．

Answer 1

分析：构造函数g（x）=ax-1（0≤x≤π），h（x）=sinx（0≤x≤π），在同一坐标系中作出二者的图象即可得到a的取值范围．

解答：解：依题意，构造函数g（x）=ax-1（0≤x≤π），h（x）=sinx（0≤x≤π），
则ax≤1+sinx，（x∈[0，π]）?ax-1≤sinx（0≤x≤π）?g（x）≤h（x）（0≤x≤π），
在同一坐标系中作出二者的图象如下：

显然，当a≤0时，g（x）≤h（x）（0≤x≤π）成立；
当0＜a≤k_AB=

1

π

时，g（x）≤h（x）（0≤x≤π）成立；
综上，a≤

1

π

．
∴a的取值范围是（-∞，

1

π

]．
故答案为：（-∞，

1

π

]．

点评：本题考查函数的图象，考查函数的最值，解题的关键是构造函数g（x）=ax-1，h（x）=sinx（0≤x≤π），并在同一坐标系中作出二者的图象，考查作图与分析解决问题的能力，属于难题．