题目内容

定义空间两个向量的一种运算
a
⊕
b
=|
a
|-|
b
|sin＜
a
，
b
＞，则关于空间向量上述运算的以下结论中，
①
a
⊕
b
=
b
⊕
a
，
②λ（
a
⊕
b
）=（λ
a
）⊕
b
，
③（
a
⊕
b
）⊕
c
=（
a
⊕
c
）（
b
⊕
c
），
④若
a
=（x1，y1），
b
=（x2，y2），则
a
⊕
b
=|x1y2-x2y1|；
恒成立的个数有（　　）
A．0个B．2个C．3个D．4个
①、∵
a
⊕
b
=|
a
|-|
b
|sin＜
a
，
b
＞，
∴
b
⊕
a
=|
b
|-|
a
|sin＜
b
，
a
＞，故
a
⊕
b
=
b
⊕
a
不会恒成立；
②、∵λ(
a
⊕
b
)=λ(|
a
|-|
b
|sin＜
a
，
b
＞)，且(λ
a
)⊕
b
=|λ||
a
|-|
b
|sin＜λ
a
，
b
＞，
∴λ(
a
⊕
b
)=(λ
a
)⊕
b
不会恒成立；
③、由定义知
a
⊕
b
、
a
⊕
c
、
b
⊕
c
结果是实数，而
c
是向量，故（
a
⊕
b
）⊕
c
≠（
a
⊕
c
）（
b
⊕
c
）；
④、∵cos＜
a
，
b
＞=
x1x2+y1y2
|
a
||
b
|
，∴sin＜
a
，
b
＞=
1-(
x1x2+y1y2
|
a
||
b
|
)2
，
∴
a
⊕
b
=|
a
|-|
b
|×
1-(
x1x2+y1y2
|
a
||
b
|
)2
=|
a
|-
|
b
|2-(
x1x2+y1y2
|
a
|
)2

=
x12+y12
-
x22+y22-(
x1x2+y1y2
x12+y12
)2
≠|x1y2-x2y1|．不成立
综上，恒成立的命题个数为零
故选A．
练习册系列答案
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定义空间两个向量的一种运算
a
⊕
b
=|
a
|-|
b
|sin＜
a
，
b
＞，则关于空间向量上述运算的以下结论中，
①
a
⊕
b
=
b
⊕
a
，
②λ（
a
⊕
b
）=（λ
a
）⊕
b
，
③（
a
⊕
b
）⊕
c
=（
a
⊕
c
）（
b
⊕
c
），
④若
a
=（x1，y1），
b
=（x2，y2），则
a
⊕
b
=|x1y2-x2y1|；
恒成立的个数有（　　）
定义空间两个向量的一种运算⊕=||-||sin＜，＞，则关于空间向量上述运算的以下结论中，
①⊕=⊕，
②λ（⊕）=（λ）⊕，
③（⊕）⊕=（⊕）（⊕），
④若=（x1，y1），=（x2，y2），则⊕=|x1y2-x2y1|；
恒成立的个数有（ ）
A．0个
B．2个
C．3个
D．4个

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