Question

如图，四面体DABC的体积为

1

6

，且满足∠ACB=45°，AC=

2

，AD+BC=2，则线段CD的长度是（　　）

• A．

  3

• B．2
• C．2

  2

• D．2

  3

Answer 1

分析：设四棱锥D-ABC的高为DA'，结合点到平面的距离垂线段最短，我们可以构造一个不等式，结合基本不等式，我们易判断出AD与平面ABC垂直，并且可以求出BC及AC的长，结合勾股定理即可得到答案．

解答：解：作DA'⊥平面ABC，则AD≥A'D
∴V_D-ABC=

1

3

•A′D（

1

2

•AC•BC•sin45°）=

1

6

≤

1

3

•AD（

1

2

•AC•BC•sin45°），即AD•BC•

AC

2

≥1
由基本不等式得AD+BC+

AC

2

≥3

3	AD•BC• AC 2

≥3
当且仅当AD=BC=

AC

2

=1时取等号，
而AD+BC+

AC

2

=3，故AD'=AD=1，即AD⊥平面ABC
∴AD⊥AC
∴CD=

1+2

=

3

故选A．

点评：本题考查直线与平面垂直，考查基本不等式的运用，其中根据已知条件，结合基本不等式判断出AD与平面ABC垂直，是解题的关键．